Mathematik

Wer von euch mag Mathe gern? Bitte melden, Hand hoch!

Kinder, die sich melden, zählen durch

Wer von euch mag Mathe nicht so gern, versteht nicht alles, empfindet es als schwierig? Bitte melden, Hand hoch!

Kinder, die sich melden, zählen durch

Wir schreiben uns das für später auf:

Mag Mathe	xxx
Mag keine Mathe	xxx

Zählen

Alles was man können muss ist zählen. Und das könnt ihr doch alle! Alles Andere sind nur "Vereinfachungen", die man einmal verstehen muss und die man sich ab da merkt.

Zusammen durchzählen, wie viele Kinder sind wir?

Nochmal durchzählen, aber in anderer Reihenfolge

Wir kommen zum gleichen Ergebnis! Das wird niemand überraschen. Zählen ist kommutativ, die Reihenfolge spielt keine Rolle.

Addieren – zusammenzählen

Wir legen 3 Äpfel (zählt sie!) hin. Dann legen wir noch 5 Äpfel hin. Dann zählen wir sie gemeinsam (zusammen).

3 Äpfel + 5 Äpfel = 8 Äpfel

Jetzt vertauschen wir die Reihenfolge:
5 + 3 = 8
addieren ist kommutativ! Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

Subtrahieren – abziehen

8 Äpfel, ich nehme 2 weg, es bleiben wieviel übrig?

8 - 2 = 6
durch zählen lösen!

Das Subtrahieren ist nicht kommutativ! Wenn ich die Reihenfolge vertausche:
2 - 8 = ?
dann bleiben sicher nicht 6 Äpfel übrig. Von 2 Äpfeln 8 wegnehmen, das geht ja garnicht!

Multiplizieren–- mal nehmen

Oft kommt es vor, dass man immer wieder die gleiche Menge (Anzahl) bekommt und das alles zusammenzählen muss. Z.B. bekommst Du jeden Tag von Deiner Mutti 2 Äpfel als Pause mit in die Schule. Du isst aber keinen Apfel sondern hebst sie dir auf. Wieviele Äpfel hast Du nach drei Tagen?

2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = ?

Wir lösen das wieder durch zusammenzählen (addieren):
2 + 2 + 2 = ?
wieder einfach alle Äpfel durchzählen => 6!

Wenn wir die 2 Äpfel von jedem Tag näher zusammenrücken, dann haben wir nach 3 Tagen 3 Gruppen von Äpfeln. Wir können auch sagen, wir zählen 3 mal 2 Äpfel zusammen:
3 mal 2 addieren = 6
* als Abkürzung um weniger schreiben zu müssen 3 * 2 = 6

Jetzt vertauschen wir wieder die Zahlen:
jetzt haben wir 2 Gruppen mit jeweils 3 Äpfeln
wir zählen wieder alle zusammen

2 * 3 = 6: Multiplizieren ist kommutativ!

Schneller rechnen

Das mit dem Zählen ist einfach, aber es dauert doch ganz schön lange und man braucht viele Äpfel dafür (Problem im Winter!). Schneller können wir rechnen durch eine "lookup table" (Nachschlage-Tabelle für Rechnungen die man immer wieder braucht). Computer verwenden das für komplizierte Rechnungen. Wir tun das mit dem 1x1: Tabelle Und weil das Nachschauen in der Tabelle umständlich ist, lernen wir sie auswendig.

Diese Tabelle (wir nennen so etwas auch eine Matrix) hat ein paar nette Eigenschaften:

Bei der Multiplikation mit 10 hängen wir einfach eine 0 an die Zahl. Easy!
Bei der Multiplikation mit 1 kommt die gleiche Zahl wieder raus. Easy!
Weil die Multiplikation kommutativ ist, ist die Matrix symmetrisch und wir können die obere oder untere (aber nicht beide!) Hälfte weglassen. Schon müssen wir uns nur die Hälfte merken!
Auf der Diagonalen stehen die Quadratzahlen, z.B. 3 * 3 = 9
In jeder Zeile ist die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Zahlen gerade die Zahl, die links im blauen Kästchen steht. Wir können also eine Zeile ganz einfach durch addieren bekommen. Das gleiche gilt für die Spalten.

Dividieren – teilen

Wir wollen 15 Äpfel gerecht (!) auf 3 Kinder aufteilen. Reihum bekommt jedes Kind einen Apfel, bis keiner mehr da ist.

Gerecht heißt, dass jedes Kind gleich viele Äpfel bekommt. Wieviele Äpfel hat jedes Kind? Zählen!

Das können wir kürzer auch so schreiben:
15 : 3 = 5

Jetzt wollen wir die 15 Äpfel gerecht auf 4 Kinder aufteilen!

Das geht erst mal nicht, es bleibt ein Rest übrig, der nicht mehr gerecht aufgeteilt werden kann.
15 : 4 = 3 Rest 3 = 3R3

Begriffe

Erwachsene verwenden oft ungewöhnliche und kompliziert erscheinende Begriffe, Kinder in der Schule oft einfachere. Aber wenn man sich das aufschreibt, dann ist es ganz einfach:

Erwachsene	Kindersprache	Symbol
addieren	zusammen zählen	+
Summand	das Ding, das zusammen gezählt wird	a + b
subtrahieren	abziehen	-
multiplizieren	mal nehmen	* oder x oder .
Faktor	das Ding, das mal genommen wird	5 * b
dividieren	(auf) teilen	: oder ÷ oder Bruchstrich
Gleichheit	ist gleich	=

Tipp für's Leben (und die Schule): wenn man sich wichtige Begriffe übersichtlich (z.B. in einer Liste, Tabelle, oder Matrix) aufschreibt, dann kann man sich das viel leichter merken!

Rechnen mit Buchstaben

Buchstaben statt Wörter weil es weniger zu schreiben ist und dadurch übersichtlicher wird:

3 Äpfel + 2 Butterbrezen + 2 Äpfel + 3 Butterbrezen =
3 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Butterbrezen + 3 Butterbrezen =
5 Äpfel + 5 Butterbrezen

Apfel => a
Butterbreze => b

3 a + 2 b + 2 a + 3 b =
3 a + 2 a + 2 b + 3 b =
5 a + 5 b

Klammern

Wir machen jetzt Paare von Äpfeln und Butterbrezen:
5 (a + b)
dass immer ein Apfel und eine Butterbreze zusammen gehört drücken wir durch die Klammern aus. Was in Klammern steht, wird zuerst gerechnet (wenn es geht, hier geht es nicht).

Ausklammern

Eine Klammer macht ja Paare und wenn von jedem (hier a und b) gleich viele (hier 5) da sind, können wir alles in Paaren ordnen:
5 a + 5 b = 5 (a + b)
Man nennt das "ausklammern", weil man den gemeinsamen Faktor (die 5) vor die (aus der) Klammer ziehen kann.

Distributivgesetz

Das geht auch rückwärts: wir ordnen die die Dinge wieder um, indem wir alle gleich Sachen zusammenstellen:
5 (a + b) = 5 a + 5 b
man nennt das "ausmultiplizieren".

Rechnen mit Gleichungen

Wir dürfen auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche machen, und die Gleichung stimmt immer noch (Ausnahme: Multiplikation mit Null). Beispiel:
3 a = 3 a | +2 a
3 a + 2a = 3 a + 2 a
5 a = 5 a
Das | Symbol bedeutet, dass wir das auf beiden Seiten der Gleichung machen (hier + 2 a).

Zusammenfassung

Erwachsene	Kindersprache	Symbol
addieren	zusammen zählen	+
Summand	das Ding, das zusammen gezählt wird	a + b
subtrahieren	abziehen	-
multiplizieren	mal nehmen	* oder x oder .
Faktor	das Ding, das mal genommen wird	5 * b
dividieren	(auf) teilen	: oder ÷ oder Bruchstrich
Gleichheit	ist gleich	=
Klammern	Paare machen	( ... )
ausklammern	umordnen	5 a + 5 b = 5 (a + b)
Distributivgesetz	ausmultiplizieren	a * (b + c) = ab + ac
Gleichung bearbeiten	auf beiden Seiten das Gleiche machen	\|

Das ist jetzt genug Mathe für uns.

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